Mencari Rumus Volume Bola dengan Cara Integral

Mungkin kita sempat terbesit dalam pikiran kita, sebenarnya dari mana asal rumus bola? Mengapa rumus untuk volume bola sama dengan

$v=\frac{4}{3}\pi r^{3}$

Lalu dari mana asal nilai $\frac{4}{3}$ ? Sebenarnya rumus bola ini didapatkan dari mana? Tentunya, bagi siswa atau mahasiswa yang sudah tahu mengenai integral, sudah pasti akan mengetahui tentang hal ini. Mungkin saja ini bukanlah hal yang menarik lagi bagi mereka yang sudah mengetahuinya. Dengan menggunakan konsep volume benda putar yang dicari dengan menggunakan integral, maka akan didapatkan suatu rumus volume bola seperti yang disebutkan tadi.


Perhatikan persamaan lingkaran bagian atas yang diberikan di bawah ini

Suatu persamaan lingkaran bisa kita tuliskan menjadi dua fungsi. Tentunya masih ingat mengenai persamaan lingkaran. Persamaan umum lingkaran dengan pusat di (0,0) adalah

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ,dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Persamaan itu bisa kita tuliskan dan bisa kita bagi menjadi 2. Yaitu lingkaran bagian atas dan lingkaran bagian bawah. Untuk persamaan lingkaran bagian atas, perhatikan persamaan berikut ini

$y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$

Untuk persamaan lingkaran yang bagian bawah yaitu

$y=-\sqrt{r^{2}-x^{2}}$

Untuk gambar di atas, adalah persamaan lingkaran bagian atas. Persamaannya yaitu $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$

Untuk mencari volume bola, kita akan memutar setengah lingkaran tersebut. Coba bayangkan, jika setengah bola tersebut diputar $360^{0}$ dengan sumbu porosnya yaitu sumbu x. Benda apa yang akan terbentuk? Benda yang akan terbentuk adalah sebuah bola dengan jari-jari sama dengan jari-jari lingkaran.

Lalu bagaimana mencari volume benda putarnya? Masih ingat kan mengenai mencari volume benda putar untuk fungsi $f\left(x\right)$ dan diputar terhadap sumbu x. Bagi yang belum pernah belajar hal ini. Bisa dipelajari pelan-pelan di sini.

Volume benda putar untuk $f\left(x\right)$ adalah

$\pi \int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)\right)^{2}dx$

Untuk mencari volume bola. Setengah lingkaran tersebut kita pandang sebagai  $f\left(x\right)$ dan untuk nilai a dan b, $a=-r , b=r$

Perhitungannya sebagai berikut:

$v=\pi \int_{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right)dx$

$v=\pi\left[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-r}^{r}$

$v=\pi\left[\left(r^{3}-\frac{1}{3}r^{3}\right)-\left(-r^{3}+\frac{1}{3}r^{3}\right)\right]$

$v=\frac{4}{3}\pi r^{3}$


Bentuk terakhir adalah rumus untuk mencari volume bola yang sudah kita kenal sejak SMP. Bahkan SD juga ada yang sudah mendapatkannya.
Jadi, dengan menggunakan integral (volume benda putar), kita bisa dengan mudah menemukan rumus-rumus untuk menghitung volume bola, volume kerucut, volume tabung atau volume benda-benda ruang lengkung yang lain.