Membuktikan Rumus Volume Limas

Rumus volume limas adalah $v=\frac{1}{3}\times{luas alas}\times{tinggi}$ . Uniknya apapun alas limasnya, rumus volume diatas akan tetap berlaku. Bahkan juga tetap berlaku terhadap kerucut, bukankah kerucut adalah limas dengan alas lingkaran?

Lalu pertanyaannya, mengapa ada $\frac{1}{3}$ pada rumus volume limas? Sebelum membuktikannya, terlebih dahulu saya berikan teorema tentang volume limas tersebut. Perhatikanlah!

Teorema:  Untuk sebarang limas dengan luas alas A dan tinggi h berlaku $v=\frac{1}{3}Ah$

Adapun pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Diberikan sebarang limas dengan luas alas A dan tinggi h kemudian potong-potong limas tersebut secara mendatar menjadi n lapisan dengan  n→∞. Lapisan pertama berada di puncak, paling atas sedangkan lapisan ke-n yang terakhir berada di paling bawah. Berdasarkan kesebangunan lapisan ke-k mempunyai ukuran $\frac{k}{n}$ dari lapisan ke-n, itu berarti lapisan ke-k mempunyai luas alas $\left(\frac{k}{n}\right)^{2}A$

Diperoleh luas alas dari lapisan ke-1 sampai ke-n adalah $\left(\frac{1}{n}\right)^{2}A,\left(\frac{2}{n}\right)^{2}A,\left(\frac{3}{n}\right)^{2}A,{...},\left(\frac{n}{n}\right)^{2}$.

Dengan mengasumsikan setiap lapisan berbentuk prisma maka setiap lapisan mempunyai tinggi $\frac{h}{n}$, diperoleh volume lapisan ke-k adalah $\left(\frac{h}{n}\right)\left(\frac{k}{n}\right)^{2}A$ .

Untuk mendapatkan volume limas, kita harus menjumlahkan semua volume lapisan dari lapisan pertama sampai terakhir, diperoleh 

$v=\left(\frac{h}{n}\right)$ 

$v=\left(\frac{h}{n^{3}}\right)A\left({1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+{...}+{n}^{2}\right)$

Diketahui ${1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+{...}+{n}^{2}=\frac{1}{6}n\left({n+1}\right)\left({2n+1}\right)$

Diperoleh

$v=\left(\frac{h}{n^{3}}\right)A\left(\frac{1}{6}n\left({n+1}\right)\left({2n+1}\right)\right)$

$v=\frac{1}{6}Ah\left({1}+\frac{1}{n}\right)\left({2}+\frac{1}{n}\right)$

karena n→∞, itu berarti nilai $\frac{1}{n}$ bisa dianggap nol.

$v=\frac{1}{6}Ah\left({1}+{0}\right)\left({2}+{0}\right)=\frac{1}{3}Ah$

Dan akhirnya, kita mendapatkan $\frac{1}{3}$.

Jelaslah sudah bahwa pembuktian di atas menujukkan apapun alas limasnya, maka volumenya akan selalu $v=\frac{1}{3}\times{luas alas}\times{tinggi}$. Sehingga untuk mencari volume limas, yang kita butuhkan hanyalah luas alas dan tinggi.

 ***

Mungkin ada di antara kalian yang masih merasa bingung dengan penjelasan di atas. Maka dari itu saya akan menjelaskan pembuktian volume limas dengan cara yang lain. Di sini, kita akan menggunakan volume kubus yang di dalamnya memiliki empat buah diagonal ruang yang saling berpotongan di titik O (perhatikan gambar). Maka jika diamati dengan baik, kita akan melihat bahwa di dalam kubus tersebut terdapat 6 buah limas segiempat, yaitu limas O.ABCD, O.BCGF, O.EFGH, O.DAEH, O.ABFE, dan O.CDHG. Dengan demikian, kita dapatkan suatu kesimpulan bahwa gabungan volume ke-6 limas tersebut sama dengan volume kubus.

$Vkubus={6}\times{Vlimas}$

$Vlimas=\frac{1}{6}\times{Vkubus}$

karena $Vkubus={s}^{3}$, maka

$Vlimas=\frac{1}{6}\times{s}^{3}$

$Vlimas=\frac{1}{6}\times{s}\times{s}\times{s}$

$Vlimas=\frac{1}{6}\times{s}^{2}\times{s}$

$Vlimas=\frac{1}{6}\times{s}^{2}\times\frac{2s}{2}$

$Vlimas=\frac{1}{6}\times{2}\times{s}^{2}\times\frac{1}{2}s$

$Vlimas=\frac{1}{3}\times{s}^{2}\times\frac{1}{2}s$

karena ${s}^{2}$ adalah rumus luas persegi (alas) dan $\frac{1}{2}s$ adalah tinggi t limas, maka $Vlimas=\frac{1}{3}\times{luas alas}\times{tinggi}$